题目

高一几何(圆)
AB为圆上的一条弦,MN为两条弧中点
将弧AMB以B为旋转中心,旋转某一角度,记作弧A'MB,
A'A中点为P
求证：PM垂直PN
图在空间中~自己看下
M坐标变了~晕

提问时间：2021-03-31

答案

设弧A'MB弧度为2a,其旋转角度为2b,圆半径为R
则角A'BM=a,角ABN=90度-a,角A'BP=ABP=b
AB=4Rcos(a)sin(a)
BP=ABcos(b)=4Rcos(a)sin(a)cos(b)
BM=2Rsin(a)
BN=2Rcos(a)
->
PM^2=BM^2+BP^2-2BM*BP*cos(a+b)
PN^2=BN^2+BP^2-2BN*BP*cos(90度-a+b)
MN^2=BM^2+BN^2-2BN*BM*cos(90度+2b)
PM^2+PN^2=BM^2+BN^2+16R^2*cos(a)sin(a)cos(b)sin(b)
MN^2=BM^2+BN^2+2BN*BM*sin(2b)
=BM^2+BN^2+16R^2*cos(a)sin(a)cos(b)sin(b)
所以
PM^2+PN^2=MN^2
PM垂直PN