题目

求教一道高等数学高阶导数题
已知f(x)具有任意阶导数,且f'(x)=[f(x)]^2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数为：________

提问时间：2021-03-31

答案

解∵f(x)具有任意阶导数,且f'(x)=[f(x)]^2
∴f''(x)=2f(x)f'(x)=2![f(x)]^3
f'''(x)=3![f(x)]^4
.
f(x)的n阶导数=n![f(x)]^(n+1) （n=2,3,4,.）
现在用数学归纳法证明它的正确性：
(1)当n=2时,左边=2f(x)f'(x)=2[f(x)]^3
右边=2![f(x)]^3=2[f(x)]^3
∴左边=右边,原式成立.
(2)假设当n=k时,原式成立,即f(x)的k阶导数=k![f(x)]^(k+1)
当n=k+1时,左边=f(x)的(k+1)阶导数
=k!(k+1)[f(x)]^k*f'(x)
=(k+1)![f(x)]^k*[f(x)]^2
=(k+1)![f(x)]^(k+2)
=右边
综合(1),(2)知f(x)的n阶导数=n![f(x)]^(n+1) （n=2,3,4,.）