题目
设A=[-1,m],S={y|y=x+1,x∈A},T={y=x^2,x∈A},求使S=T成立的实数m的值所组成的集合M,
提问时间:2021-03-31
答案
注意S、T都是以y为元素的集合.S=T表示在区间[-1,m]上,函数y=x+1与函数y=x^2具有相同的值域
在区间[-1,0]上函数y=x+1递增,且x=-1时y=0;当x=0时y=1
在区间[-1,0]上函数y=x^2递减,且x=-1时y=1;当x=0时y=0
所以当m=0时,函数y=x+1与函数y=x^2具有相同的值域[0,1]
注意到函数y=x+1与y=x^2在第一象限交点,到达该点时两函数具有相同的函数值,即解方程组得x=(1+√5)/2,于是有
在区间[-1,(1+√5)/2]上函数y=x+1递增,且x=-1时y=0;当x=(1+√5)/2时y=(3+√5)/2
在区间[-1,(1+√5)/2]上函数y=x^2无单调,但x=0时函数值取得最小y=0;当x=(1+√5)/2时y=(3+√5)/2
所以当m=(1+√5)/2时,函数y=x+1与函数y=x^2具有相同的值域[0,(3+√5)/2]
综上,使S=T成立的实数m有两个,即有M={0,(1+√5)/2}
在区间[-1,0]上函数y=x+1递增,且x=-1时y=0;当x=0时y=1
在区间[-1,0]上函数y=x^2递减,且x=-1时y=1;当x=0时y=0
所以当m=0时,函数y=x+1与函数y=x^2具有相同的值域[0,1]
注意到函数y=x+1与y=x^2在第一象限交点,到达该点时两函数具有相同的函数值,即解方程组得x=(1+√5)/2,于是有
在区间[-1,(1+√5)/2]上函数y=x+1递增,且x=-1时y=0;当x=(1+√5)/2时y=(3+√5)/2
在区间[-1,(1+√5)/2]上函数y=x^2无单调,但x=0时函数值取得最小y=0;当x=(1+√5)/2时y=(3+√5)/2
所以当m=(1+√5)/2时,函数y=x+1与函数y=x^2具有相同的值域[0,(3+√5)/2]
综上,使S=T成立的实数m有两个,即有M={0,(1+√5)/2}
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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