题目

数列{a_n}中，a_n＞0，且{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，满足a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N），则公比q的取值范围是（　　）
A. 0＜q＜

1+ 2

2

B. 0＜q＜

1+ 5

2

C. 0＜q＜

−1+ 2

2

D. 0＜q＜

−1+ 5

2

提问时间：2021-03-31

答案

法1：∵{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，
∴设anan+1＝(a1a2)qn−1，
不等式可化为(a1a2)qn−1+(a1a2)qn＞(a1a2)qn+1，
∵a_n＞0，q＞0，
∴q²-q-1＜0，
解得：0＜q＜

1+ 5

2

；
法2：令n=1，不等式变为a₁a₂+a₂a₃＞a₃a₄，
∴a1a2+a1a2⋅q＞a1a2q2，
∵a₁a₂＞0，∴1+q＞q²，
解得：0＜q＜

1+ 5

2

，
故选B

法1：由{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，设此等比数列的公比为q，利用等比数列的通项公式表示出a_na_n+1的通项，利用得到的通项化简已知的不等式，根据a_n＞0且q＞0，得到a₁a₂＞0，在不等式左右两边同时除以a₁a₂，得出关于公比q的不等式，求出不等式的解集即可得到q的取值范围；
法2：把n=1代入已知的不等式，得到a₁a₂+a₂a₃＞a₃a₄，由{a_na_n+1}是公比为q（q＞0）的等比数列，设此等比数列的公比为q，利用等比数列性质化简后，根据a₁a₂＞0，在不等式左右两边同时除以a₁a₂，得出关于公比q的不等式，求出不等式的解集即可得到q的取值范围．

本题考点：等比数列的性质．

考点点评：此题考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式，以及一元二次不等式的解法，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．