提问时间:2021-03-31
规律56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线,把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.
例:已知,如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD = 3,AB = 4,BC = 7
求∠B的度数
过A作AE∥CD交BC于E,则四边形AECD为平行四边形
∴AD = EC, CD = AE
∵AB = CD = 4,
AD = 3, BC = 7
∴BE = AE = AB = 4
∴△ABE为等边三角形
∴∠B = 60o
规律57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线,把梯形转化成一个矩形和两个三角形.
例:已知,如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB = AC,∠BAC = 90o,BD = BC,BD交AC于O
求证:CO = CD
证明:过A、D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、F则四边形AEFD为矩形
∴AE = DF
∵AB = AC,AE⊥BC,∠BAC = 90o,
∴AE = BE = CE = BC,∠ACB = 45o
∵BC = BD
∴AE = DF = BD
又∵DF⊥BC
∴∠DBC = 30o
∵BD = BC
∴∠BDC =∠BCD
= (180o-∠DBC)
= 75o
∵∠DOC =∠DBC+∠ACB = 30o+45o = 75o
∴∠BDC =∠DOC
∴CO = CD
规律58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线,把梯形转化成平行四边形和三角形.
例:已知,如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD+BC = 10,DE⊥BC于E
求DE的长.
过D作DF∥AC,交BC的延长线于F,则四边形ACFD为平行四边形
∴AC = DF, AD = CF
∵四边形ABCD为等腰梯形
∴AC = DB
∴BD = FD
∵DE⊥BC
∴BE = EF = BF
= (BC+CF) = (BC+AD)
= ×10 = 5
∵AC∥DF,BD⊥AC
∴BD⊥DF
∵BE = FE
∴DE = BE = EF = BF = 5
答:DE的长为5.
规律59.延长梯形两腰使它们交于一点,把梯形转化成三角形.
例:已知,如图,在四边形ABCD中,有AB = DC,∠B =∠C,AD<BC
求证:四边形ABCD等腰梯形
证明:延长BA、CD,它们交于点E
∵∠B =∠C
∴EB = EC
又∵AB = DC
∴AE =DE
∴∠EAD =∠EDA
∵∠E+∠EAD+∠EDA = 180o
∠B+∠C+∠E = 180o
∴∠EAD =∠B
∴AD∥BC
∵AD≠BC,∠B =∠C
∴四边形ABCD等腰梯形
(此题还可以过一顶点作AB或CD的平行线;也可以过A、D作BC的垂线)
规律60.有梯形一腰中点时,常过此中点作另一腰的平行线,把梯形转化成平行四边形.
例:已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E为CD中点,EF⊥AB于F
求证:S梯形ABCD = EF•AB
证明:过E作MN∥AB,交AD的延长线于M,交BC于N,则四边形ABNM为平行四边形
∵EF⊥AB
∴S□ABNM = AB•EF
∵AD∥BC
∴∠M =∠MNC
又∵DE = CE ∠1 =∠2
∴△CEN≌△DEM
∴S△CEN = S△DEM
∴S梯形ABCD = S五边形ABNED+S△CEN = S五边形ABNED+S△DEM
= S梯形ABCD = EF•AB
规律61. 有梯形一腰中点时,也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交,把梯形转换成三角形.
例:已知,如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD于A,DE = EC = BC
求证:∠AEC = 3∠DAE
证明:连结BE并延长交AD的延长线于N
∵AD∥BC
∴∠3 =∠N
又∵∠1 =∠2 ED = EC
∴△DEN≌△CEB
∴BE = EN DN = BC
∵AB⊥AD
∴AE = EN = BE
∴∠N =∠DAE
∴∠AEB =∠N+∠DAE = 2∠DAE
∵DE = BC BC = DN
∴DE = DN
∴∠N =∠1
∵∠1 =∠2 ∠N =∠DAE
∴∠2 =∠DAE
∴∠AEB+∠2 = 2∠DAE+∠DAE
即∠AEC = 3∠DAE
规律62.梯形有底的中点时,常过中点做两腰的平行线.
例:已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,E、F分别是AD、BC的中点,且EF⊥BC
求证:∠B =∠C
证明:过E作EM∥AB, EN∥CD,交BC于M、N,则得□ABME,□NCDE
∴AE = BM,AB∥= EM,DE = CN,CD = NE
∵AE = DE
∴BM = CN
又∵BF = CF
∴FM = FN
又∵EF⊥BC
∴EM = EN
∴∠1 =∠2
∵AB∥EM, CD∥EN
∴∠1 =∠B ∠2 =∠C
∴∠B = ∠C
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