题目
如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过D点作EF∥BC交AB的延长线于点E,交AC的延长线于点F.
(1)求证:EF为⊙O的切线;
(2)若sin∠ABC=
,CF=1,求⊙O的半径及EF的长.
(1)求证:EF为⊙O的切线;
(2)若sin∠ABC=
4 |
5 |
提问时间:2021-03-30
答案
(1)证明:连接OD;
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°;
∵EF∥BC,
∴∠AFE=∠ACB=90°,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA;
又∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠DAC,
∴∠ODA=∠DAC,
∴OD∥AF,
∴∠ODE=∠AFD=90°,
即OD⊥EF;
又∵EF过点D,
∴EF是⊙O的切线.
(2)连接BD,CD;
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADB=∠AFD;
∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠DAC,
∴BD=CD;
设BD=CD=a;
又∵EF是⊙O的切线,
∴∠CDF=∠DAC,
∴∠CDF=∠OAD=∠DAC,
∴△CDF∽△ABD∽△ADF,
∴
=
=
;
∵sin∠ABC=
=
,
∴设AC=4x,AB=5x,
∴
=
a2=5x,
∴在Rt△CDF中DF2=CD2-CF2=5x-1;
又∵
=
,
∴5x-1=1×(1+4x),
∴x=2,
∴AB=5x=10,AC=4x=8;
∵EF∥BC,
∴△ABC∽△AEF,
∴
=
,
=
,AE=
,
∴在Rt△AEF中,EF=
=
=
.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°;
∵EF∥BC,
∴∠AFE=∠ACB=90°,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA;
又∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠DAC,
∴∠ODA=∠DAC,
∴OD∥AF,
∴∠ODE=∠AFD=90°,
即OD⊥EF;
又∵EF过点D,
∴EF是⊙O的切线.
(2)连接BD,CD;
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADB=∠AFD;
∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠DAC,
∴BD=CD;
设BD=CD=a;
又∵EF是⊙O的切线,
∴∠CDF=∠DAC,
∴∠CDF=∠OAD=∠DAC,
∴△CDF∽△ABD∽△ADF,
∴
CF |
CD |
BD |
AB |
CF |
DF |
DF |
AF |
∵sin∠ABC=
AC |
AB |
4 |
5 |
∴设AC=4x,AB=5x,
∴
1 |
a |
a |
5x |
∴在Rt△CDF中DF2=CD2-CF2=5x-1;
又∵
CF |
DF |
DF |
AF |
∴5x-1=1×(1+4x),
∴x=2,
∴AB=5x=10,AC=4x=8;
∵EF∥BC,
∴△ABC∽△AEF,
∴
AB |
AE |
AC |
AF |
10 |
AE |
8 |
9 |
45 |
4 |
∴在Rt△AEF中,EF=
AE2−AF2 |
(
|
27 |
4 |
(1)连接OD,只要证明OD⊥EF即可.
(2)连接BD,CD,根据相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF,根据相似比及勾股定理即可求得半径及EF的值.
(2)连接BD,CD,根据相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF,根据相似比及勾股定理即可求得半径及EF的值.
切线的判定与性质;圆周角定理.
本题考查切线的判定和性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用.
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