题目

用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．

提问时间：2021-03-30

答案

如图：已知在△ABC中，∠A＞90°，D是BC中点．求证：AD＜

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BC．
证明：假设AD≥

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BC．
①若AD=

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BC，由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么，这条边所对的角为直角”知∠BAC=90°，与题设矛盾．∴AD≠

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BC．
②若AD＞

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BC，∵BD=DC=

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BC，
∴在△ABD中，AD＞BD，从而∠B＞∠DAB．同理∠C＞∠CAD．
∴∠B+∠C＞∠BAD+∠CAD，即∠B+∠C＞∠BAC．
∵∠B+∠C=180°-∠BAC，∴180°-∠BAC＞∠BAC，
则∠BAC＜90°，与已知矛盾．
由①②知AD＜

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BC．