题目

设a,b,c为△ABC三边,试比较a^2+b^2+c^2与2(ab+ac+bc)的大小关系

提问时间：2021-03-30

答案

答：
a^2+b^2+c^2与2(ab+ac+bc)的大小关系判断如下：
(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)
=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2-a^2-b^2-c^2
=(a-b+c)(a-b-c)+(a-c+b)(a-c-b)+(b-c+a)(b-c-a)
三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
所以：
(a-b+c)>0,(a-b-c)<0
(a-c+b)>0,(a-c-b)<0
(b-c+a)>0,(b-c-a)<0
所以：(a-b+c)(a-b-c)+(a-c+b)(a-c-b)+(b-c+a)(b-c-a)<0
所以：(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc)<0
所以：
a^2+b^2+c^2＜2(ab+ac+bc)