题目

如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由．

提问时间：2021-03-30

答案

CD与⊙O相切，理由如下：
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠OBC=90°，
∵∠DCB=∠A，∠OCB=∠OBC，
∴∠DCB+∠OCB=90°，
即∠OCD=90°，
∵OC是半径，
∴CD与⊙O相切．

根据等腰三角形性质推出∠OCB=∠OBC，求出∠ACB=90°，推出∠A+∠CBO=90°，推出∠DCB+∠OCB=90°，根据切线的判定推出即可．

本题考点：切线的判定；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；圆周角定理．

考点点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，切线的判定，圆周角定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度也适中．