题目

若曲线y=x⁴+x在P点处的切线与直线3x+y=0平行，则P点的坐标是 ______．

提问时间：2021-03-30

答案

设切点P坐标为（m，n）
y'|_x=m=（4x³+1）|_x=m=4m³+1
∵曲线y=x⁴+x在P点处的切线与直线3x+y=0平行
∴4m³+1=-3解得：m=-1
切点P坐标为（-1，n）在曲线y=x⁴+x上，则n=0
故P点的坐标是（-1，0）
故答案为：（-1，0）

先设切点P坐标为（m，n），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，建立等量关系，解之即可求出m，然后将切点坐标代入曲线解析式即可求出n．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线平行的判定．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两条直线平行的判定，属于基础题．