题目

已知矩形A的边长分别为a和b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，则k的最小值为______．

提问时间：2021-03-30

答案

设矩形B的边长分别为x和y
根据题意：
xy=kab，
x+y=k（a+b），
将y=k（a+b）-x代入xy=kab中，
x²-k（a+b）x+kab=0，
利用一元二次方程求根公式：
x=

k(a+b)± k2(a+b)2-4kab

2

，
△=k²（a+b）²-4kab≥0条件下，x才有解，
由上面这个不等式推出：
k≥

4ab

(a+b)2

，
∴k的最小值为

4ab

(a+b)2

．

先根据矩形的性质，列出一元二次方程，再利用根的判别式求根即可．

本题考点：矩形的性质．

考点点评：本题的关键是利用面积周长比列出方程组成一个一元二次方程，用根的判别式求根的情况．