题目

已知向量a(根号3/2,-3/2),向量b(sin(πx)/4,cos(πx)/4),f(x)=ab求单减区间
2.若函数y=g(x)与y=f(x)关于直线x=1对称,求当x∈[0,4/3]时,y=g(x)的最大值

提问时间：2021-03-30

答案

已知向量a(√3/2,-3/2),向量b(sin(πx)/4,cos(πx)/4)；
(1).f(x)=a•b求单减区间
f(x)=a•b=(√3/2)sin(πx/4)-(3/2)cos(πx/4)
=(√3)[(1/2)sin(πx/4)-(√3/2)cos(πx/4)]
=(√3/2)[sin(πx/4)cos(π/3)-cos(πx/4)sin(π/3)]
=(√3)sin(πx/4-π/3)
由2kπ+π/2≦πx/4-π/3≦2kπ+π,得2kπ+5π/6≦πx/4≦2kπ+4π/3；
于是得单减区间为：8k+10/3≦x≦8k+16/3,k∈Z.
(2).若函数y=g(x)与y=f(x)关于直线x=1对称,求当x∈[0,4/3]时,y=g(x)的最大值
设M(x₁,y₁)是y=f(x)上的任意一点,N(x₂,y₂)是g(x)上与M关于直线x=1对称的点；
那么（x₁+x₂)/2=1,即x₂=2-x₁； y₂=y₁.
故g(x)=(√3)sin[(π/4)(2-x)-π/3]=(√3)sin[π/2-(πx/4+π/3)]=(√3)cos(πx/4+π/3)]
于是得g(x)在区间[0,4/3]上的最大值为g(0)=(√3)cos(π/3)=√3/2.