题目

将圆X^2+y^2=4各点的纵坐标变为原来的一半,横坐标保持不变得到曲线C
(1)求曲线C的方程.
(2)设0为坐标原点,过点F(√3,0)的直线l交于A,B两点,N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E,求证:向量OE=2倍的向量ON的充要条件是AB=3.

提问时间：2021-03-29

答案

（1）a=2 b=1 c=√3 即C的方程：x^2 / 4 + y^2 =1
(2)设直线l的方程：y=k（x-√3）
充分性：
x^2+4k^2(x-√3)^2=4
(1+4k^2)x^2-8√3k^2*x+12k^2-4=0
x1+x2=8√3k^2 / (1+4k^2)； x1*x2=4(3k^2-1)/(1+4k^2)
N点横座标p=1/2(x1+x1) = 4√3k^2 / (1+4k^2)
N点纵座标q=1/2(y1+y2)=-√3k / (1+4k^2)
直线OE的斜率：-1/4k 即方程为 y=-1/4k x 代入椭圆方程得：
E点横座标m=4k/√(1+4k^2)
E点纵座标n=-1/√(1+4k^2)
而m=2p ,n=2q ∴16k^2= 8√3k^2 k=0
对不起,我也做错了