题目

ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

π

3

＜C＜

π

2

，且

b

a−b

＝

sin2C

sinA−sin2C

．
（1）判断△ABC的形状
（2）若|

BA

+

BC

|＝2，求

BA

•

BC

的取值范围、

提问时间：2021-03-29

答案

（1）

b

a-b

=

sin2C

sinA-sin2C

⇒

sinB

sinA-sinB

=

sin2C

sinA-sin2C

⇒sinBsinA-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C
⇒sinB=sin2C，
因为

π

3

＜C＜

π

2

，
所以B=π-2C⇒B+C=π-C⇒π-A=π-C⇒A=C
即△ABC为等腰三角形．
（2）因为|

BA

+

BC

|=2⇒(|

BA

+

BC

|)2=4⇒a2+c2+2accosB=4又A=C⇒a=c
所以cosB=

2-a2

a2

，
而cosB=-cos2C，

π

3

＜C＜

π

2

所以

1

2

＜cosB＜1⇒1＜a2＜

4

3

BA

•

BC

=cacosB=a2cosB=2-a2∈(

2

3

，1)

本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，倍角公式，解三角形，平面向量的数量积运算，向量的模等知识点．
（1）要判断△ABC的形状，我们可由

b

a−b

＝

sin2C

sinA−sin2C

，结论正弦定理边角互化的原则，将式子中边全部化为对应角的正弦值，然后根据两角和与差的正弦公式，倍角公式，得到sinB=sin2C，又由因为

π

3

＜C＜

π

2

，我们易判断三角形的形状．
（2）由|

BA

+

BC

|＝2，两边平方后，根据（1）的结论，我们可求出B的表达式及取值范围，进而求出

BA

•

BC

的取值范围．

本题考点：平面向量数量积的运算；向量的模；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：要根据某个恒成立的三角函数关系式，判断三角形的形状，一般的思路是分析角与角的关系，如果有三个角相等，则为等边三角形；如果只能得到两个角相等，则为普通的等腰三角形；如果两个角和为90°，或一个角为90°，则为直角三角形．