题目

已知函数y=x³+ax²+bx+c的图象过点P（1，2）．过P点的切线与图象仅P点一个公共点，又知切线斜率的最小值为2，求f（x）的解析式．

提问时间：2021-03-29

答案

y'=3x²+2ax+b f'（1）=3+2a+b
过P点切线方程y-2=（3+2a+b）（x-1） 与y=x³+ax²+bx+c联立，
并注意到曲线过点P（1，2）知a+b+c=1
x³+ax²-（3+2a）x+2+a=0 即（x-1）（x²+（a+1）x-2-a）=0
令（a+1）²+4（2+a）=（a+3）²≤0 知a=-3．
b-

(2a)2

4×3

=2，∴b=5，c=1-5+3=-1．
∴f（x）=x³-3x²+5x-1

先对函数进行求导，表示出切线方程后与原函数联立，根据切线与图象仅P点一个公共点知△≤0可求出a的值，进而得到bc的值，得到答案．

本题考点：导数的几何意义．

考点点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于其在该点的切线的斜率．