题目

求证:
(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)=1
是个恒等式

提问时间：2021-03-29

答案

(要知道：n次多项式之多有n个不同的根.如二次方程最多只有两个根.)
显然a,b,c互不相等,构造函数f(x)=
(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)-1
显然这个多项式至多是2次的.
而f(a)=f(b)=f(c)=0,即f(x)至少有三个根,这与它的次数最多是2次的矛盾,
所以f(x)≡0
即（x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)=1