题目

数列的一个求和问题如题 谢谢了
我想知道 1/2+1/3+1/4+1/5+······+1/n 等于多少?麻烦把过程也写一下

提问时间：2021-03-29

答案

无法求和 可以用到 高等数学的收敛发散 来证明 定义：一个数列可求和是收敛,不可求和则发散 柯西收敛准则 数列收敛的充分必要条件是 : 对任意大于0的数a 存在一个大于0的数N,使得 m,n>N,时有 |xn-xm|N时候 都有|x2n-xn|>a=1/2 由 柯西收敛准 则知道xn={1+1/2+1/3+...+1/n}发散 实际上n=1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n也事就是一个无理数 首先我们可以知道实数包括有理数和无理数. 而有理数又包括有限小数和无限循环小数,有理数都可以划成两个有限互质整数相除的形式（整数除外）.而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)通分以后的分子和分母都是无穷大,不是有限整数,且不能约分,所以它不属于有理数,因此它是无理数. 其实无穷个有理数相加未必就是有理数,而有可能等于无理数 .我可以举个很简单的例子. 圆周率π=3.1415926...是个无理数大家都知道吧, 我可以把它分解成π=3+0.1+0.04+0.001+0.0005+...的形式,等号右侧的每一项都是有理数,那么我们能说π是有理数吗?当然不能.所以无穷个有理数相加可能是无理数. 那么为什么我说1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)是无理数而不是有理数呢?我再从一种角度给你证明. 1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大)是一个无穷小数你承认吧,不然我们讨论有理数还是无理数就没什么意义了.无限循环小数都有循环节,所以无限循环小数都可以根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式. 而1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n (n为无限大) 不存在循环节 ,不可能根据等比数列知识划成两个互质整数相除的形式.所以它终究是无理数. 此数列无准确的求和公式但是有近似的求和公式 当n很大时,有个近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n) γ是欧拉常数,γ=0.57721566490153286060651209... ln(n)是n的自然对数（即以e为底的对数,e=2.71828...）