题目

在三角形ABC外作正方形ABDE和ACGF,M是BC的中点 求EF⊥AM

提问时间：2021-03-29

答案

延长MA,交EF于N
∵ ABDE和ACGF是正方形
∴AB=AE,AC=AF
∠BAE=∠CAF=90°
延长AM,截取MH=AM,连接BH
∵M是BC中点,那么BM=CM,
∠BMH=∠CMA
∴△AMC≌△BMH(SAS)
∴AC=BH=AF,∠CAM=∠BHM=∠BHA
∴∠BHA+∠BAH=∠BAH+∠CAM=∠BAC
∵∠BAC+∠EAF=390°-∠BAE-∠CAF=360°-90°-90°=180°
∠ABH+(∠BAH+∠BHA)=180°,即∠ABH+∠BAC=180°
∴∠EAF=∠ABH
∵AB=AE,BH=AF
∴△ABH≌△EAF(SAS)
∴∠BAM=∠AEN
∵∠BAM+∠EAN=180°-∠BAE=180°-90°=90°
∴∠AEN+∠EAN=90°
那么∠ANE=90°
即AM⊥EF