题目

已知直线l：（a-2）y=（3a-1）x-1①求证：无论a为何值时，直线总过第一象限；②为使这条直线不过第二象限，求a的取值范围；③若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B．△AOB的面积为S且-2≤a≤-1，求S的最小值并求此时直线l的方程．

提问时间：2021-03-29

答案

①∵a（3x-y）+（-x+2y-1）=0对任意实数a恒过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点(

1

5

，

3

5

)．
∴直线系恒过第一象限内的定点(

1

5

，

3

5

)．
②当a=2时，直线为x＝

1

5

，不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为y＝

3a−1

a−2

x−

1

a−2

不过第二象限的充要条件为

3a−1 a−2 ＞0 − 1 a−2 ≤0

⇒a＞2
∴a≥2时直线不过第二象限．
③令x=0得y＝

−1

a−2

令y=0得x＝

1

3a−1

∴S＝

1

2

：(−

1

3a−1

)×(−

1

a−2

)＝

1

2

×

1

3a2−7a+2

∵S在a∈[-2，-1]↗∴当a=-2时Smin＝

1

56

此时l：7x-4y+1=0

①由于（3x-y）+（-x+2y-1）=0对任意实数a恒过直线3x-y=0与x-2y+1=0的交点即可得出结论；
②先对a进行分类讨论：当a=2时，直线为x＝

1

5

，不过第二象限；当a≠2时，a≥2时直线不过第二象限．从而得到结果；
③令x=0和令y=0得到直线在坐标轴上截距，再利用三角形面积公式得到S关于a的函数表达式，最后利用函数的单调性求得其最小值并求此时直线l的方程．

本题考点：恒过定点的直线；确定直线位置的几何要素．

考点点评：本小题主要考查直线的方程、确定直线位置的几何要素、恒过定点的直线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．