题目

若不等式x²+2xy≤a（x²+y²）对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为（　　）
A. 2
B.

2 +1

2

C.

3

2

D.

5 +1

2

提问时间：2021-03-29

答案

∵x＞0，y＞0，
∴x²+2xy≤a（x²+y²））⇔2xy≤（a-1）x²+ay²⇔（a-1）(

x

y

)2-2×

x

y

+a≥0，
令t=

x

y

（t＞0），f（t）=（a-1）t²-2t+a，
依题意，

a−1＞0 f( 1 a−1 )≥0

即

a＞1 a− 1 a−1 ≥0

，解得a≥

5 +1

2

．
∴实数a的最小值为

5 +1

2

．
故选D．

x²+2xy≤a（x²+y²）⇔2xy≤（a-1）x²+ay²⇔（a-1）(

x

y

)2-2×

x

y

+a≥0对于一切正数x，y恒成立，依题意，令f（t）=（a-1）t²-2t+a，列不等式组

a−1＞0 f( 1 a−1 )≥0

，解之即可得答案．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查函数恒成立问题，考查转化与构造函数思想，考查解不等式组的能力，属于难题．