题目

已知椭圆方程为(x^2)/4+y^2=1
一:求斜率为根号3的平方弦中点的轨迹方程]
二:求以该椭圆内的点A(6/5,3/10)为中点的弦所在的直线方程
三:过(1,0)的弦的中点的轨迹方程

提问时间：2021-03-29

答案

一： 设弦方程为： y=sqr(3)x+b,代入椭圆方程化简得
13x^2+8sqrt(3)bx+4b^2-4=0
由 (8sqrt(3)b)^2-4*13*(4b^2-4)>=0得 b^2<=13, -sqrt(13)<=b<=sqrt(13)
故 x1+x2=-8sqrt(3)/13b, y1+y2=sqr(3)*(x1+x2)+2b=2/13b
中点坐标为：（x0=-4sqrt(3)/13*b,y0=1/13*b),消去b得
y0=-sqrt(3)/12*x0,即 y==-sqrt(3)/12*x.
(-4*sqrt(39)/14<=x<=4*sqrt(39)/14)
二: 显然x=6/5所截的弦中点不是A.
令直线方程为 y=kx+b,与椭圆方程联立可求得中点坐标（求中点坐标与第一问方法相同）,由该中点坐标为A可列出k,b的方程组,解之即可.
三：显然 x=1 所截的弦中点是 (1,0).
其余直线可设为 (y-0)=k(x-1), 即 y=kx-k,与椭圆方程联立可求得中点坐标(x0,y0),由 x=x0,y=y0联立 消去 k 即是轨迹方程.
另需注意x0有解的k值范围确定轨迹方程的定义域,还要并上点(1,0).