题目

若a+b=1，a，b∈R⁺，则（a+

1

a

）²+（b+

1

b

）²的最小值是 ___ ．

提问时间：2021-03-29

答案

∵a+b=1，a，b∈R⁺，
∴（a+

1

a

）²+（b+

1

b

）²
=a2+

1

a2

+2+b2+

1

b2

+2
=a2+b2+

1

a2

+

1

b2

+4
=(a2+b2)(1+

1

a2b2

)+4
=[(a+b)2-2ab](1+

1

a2b2

)+4
=(1-2ab)(1+

1

a2b2

)+4．
∵a+b≥2

ab

，
∴ab≤

1

4

，（当且仅当a=b时取等号）
∴1-2ab≥

1

2

，1+

1

a2b2

≥17，
∴(1-2ab)(1+

1

a2b2

)+4≥

25

2

．
∴（a+

1

a

）²+（b+

1

b

）²≥

25

2

．
故答案为

25

2

．

本题可以利用基本不等式得到ab的取值范围，再将研究代数式用ab表示，得到原式的最小值．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题考查的是基本不等式和转化化归的数学思想，本题有一定难度，属于中档题．