题目

已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且∠ADE=∠BDC．

（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长．

提问时间：2021-03-29

答案

（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠ADE=∠ABC
∵∠BDC=∠ADE
∴∠BAC=∠BDC
∴∠ABC=∠BAC
∴BC=AC
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵AE切⊙O于点A
∴∠EAD=∠ACE
∵∠AED=∠CEA
∴△AED∽△CEA
∴AE²=ED•EC=ED•（ED+CD）
∵AE=6，CD=5
∴6²=ED（ED+5）
∴ED=4或ED=-9（舍去）
∵△ADE∽△CAE
∴AD：AC=AE：CE
∵AC=BC=12
∴

AD

12

=

6

4+5

∴AD=8
答：AD的长为8．