题目

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间【0,2】上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间【-8,8】上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=

提问时间：2021-03-29

答案

f（x）为奇函数,f（0）=0,
f（x-4）=-f（x）,f(4)=0,
f(x-8)=-f（x-4）=f（x）,所以f（x）是周期为8的函数,f（8）=0.
在区间【0,2】上是增函数,那么在此区间f(x)>0,根据f（x-4）=-f（x）,
在区间【4,8】f(x)<0.
f（x-4）=-f（x）,f（x）为奇函数,那么f(x)=f(4-x).
f(x)=m在区间【-8,8】上有4个不同的根,设两个正根x1,4-x1,那么两个负根根据周期8为x1-8,4-x1-8.则x1+x2+x3+x4=-8.