题目

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形内一点，且∠APB=∠APC=135°．

（1）求证：△CPA∽△APB；
（2）试求tan∠PCB的值．

提问时间：2021-03-29

答案

（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，
又在△APB中，∠APB=135°，
∴∠PBA+∠PAB=45°，
∴∠PAC=∠PBA，
又∠APB=∠APC，
∴△CPA∽△APB．
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴

CA

AB

＝

1

2

，
又∵△CPA∽△APB，
∴

CP

PA

＝

PA

PB

＝

CA

AB

＝

1

2

，
令CP=k，则PA＝

2

k，PB＝2k，
又在△BCP中，∠BPC=360°-∠APC-∠APB=90°，
∴tan∠PCB＝

PB

PC

＝2．

（1）结合题意，易得∠BAC=45°，从而可得出∠PAC+∠PAB=45°，又在△APB中，∠APB=135°，以及∠APB=∠APC，即可得出△CPA∽△APB；
（2）由于△ABC是等腰直角三角形，即可得出CA和AB之间的关系，利用（1）的条件，

CP

PA

＝

PA

PB

＝

CA

AB

＝

1

2

，在△BCP中，∠BPC=90°，易得出tan∠PCB的值．

本题考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．

考点点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度．