题目
初三二次函数题
已知抛物线y1=a(x-2)²-4(a≠0)经过点(0,-3),顶点为M.将抛物线y1向上平移b个单位可使平移后得到的抛物线y2经过坐标原点,抛物线y2的顶点为A,与x轴的另一个交点为B.
(3)①点p是y轴上一点当丨PA-PB丨的值最大是,求p点坐标
②点E是x轴上一点,在抛物线y2是是否存在点F,使O(原点)、M、E、F四点构成以OM为一边的平行四边形?若存在,请求出点F的坐标:若不存在,请说明理由.
已知抛物线y1=a(x-2)²-4(a≠0)经过点(0,-3),顶点为M.将抛物线y1向上平移b个单位可使平移后得到的抛物线y2经过坐标原点,抛物线y2的顶点为A,与x轴的另一个交点为B.
(3)①点p是y轴上一点当丨PA-PB丨的值最大是,求p点坐标
②点E是x轴上一点,在抛物线y2是是否存在点F,使O(原点)、M、E、F四点构成以OM为一边的平行四边形?若存在,请求出点F的坐标:若不存在,请说明理由.
提问时间:2021-03-28
答案
第一小题:∵经过(0,-3)的抛物线y1向上平移,经过(0,0)得到抛物线y2,
∴向上平移了3个单位,即b=3;
故抛物线y2:y2=1/4(x-2)²-4+3=1/4(x-2)²-1.
第二小题:①∵|PA-PB|≤AB,且当且仅当P、A、B共线时取等号,
∴|PA-PB|的值最大时,P、A、B共线;
由(2)的抛物线解析式知:A(2,-1)、B(4,0),设直线AB的解析式:y=kx+b,
有:
2k+b=-14
k+b=0
解得
k=12
b=-2
故直线AB:y=1/2x-2,则P(0,-2).
②易知M(2,-4),分两种情况讨论:
Ⅰ、点F在x轴下方时,由于OM是平行四边形的边,则MF∥x轴,即F点的纵坐标为-4,显然点F不可能在抛物线y2上,此种情况不成立;
Ⅱ、点F在x轴上方时,由于平行四边形是中心对称图形,所以F点的纵坐标为4;
当y2=4时,1/4(x-2)²-1=4,解得:x=2±2√5
则F(2-2√5,4)或(2+2√5,4);
综上,存在符合条件的F点,且坐标为(2-2√5,4)或(2+2√5,4);
∴向上平移了3个单位,即b=3;
故抛物线y2:y2=1/4(x-2)²-4+3=1/4(x-2)²-1.
第二小题:①∵|PA-PB|≤AB,且当且仅当P、A、B共线时取等号,
∴|PA-PB|的值最大时,P、A、B共线;
由(2)的抛物线解析式知:A(2,-1)、B(4,0),设直线AB的解析式:y=kx+b,
有:
2k+b=-14
k+b=0
解得
k=12
b=-2
故直线AB:y=1/2x-2,则P(0,-2).
②易知M(2,-4),分两种情况讨论:
Ⅰ、点F在x轴下方时,由于OM是平行四边形的边,则MF∥x轴,即F点的纵坐标为-4,显然点F不可能在抛物线y2上,此种情况不成立;
Ⅱ、点F在x轴上方时,由于平行四边形是中心对称图形,所以F点的纵坐标为4;
当y2=4时,1/4(x-2)²-1=4,解得:x=2±2√5
则F(2-2√5,4)或(2+2√5,4);
综上,存在符合条件的F点,且坐标为(2-2√5,4)或(2+2√5,4);
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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