题目

已知a,b,c,d是实数,且满足a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,ac+bd=0.求证:b^2+d^2=1 a^2+c^2=1 ab+cd=0

提问时间：2021-03-28

答案

a^2+b^2-(c^2+d^2)=0
2(ac+bd)=0
a^2+2ac+c^2-(b^2-2bd+d^2)=0
(a+c)^2=(b-d)^2
所以：a+c=±(b-d)
所以:d+c=b-a或a+b=d-c
所以:(d+c)^2=(b-a)^2[(a+b)^2=(d-c)^2]
d^2+c^2+2dc=b^2+a^2-2ab[a^2+b^2+2ab=d^2+c^2-2dc]
dc=-ab [ab=-dc]
所以ab+cd=0
d+c=b-a
c+a=b-d
c^2+a^2+2bc=b^2+a^2-2ab
c2+a^2=1-a^2+1-c^2
a^2+c^2=1
同理可证b^2+d^2=1