题目
已知a1,a2,a3…an∈R+,且a1a2a3…an=1,求证(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2^n
提问时间:2021-03-28
答案
用数学归纳法证明
n=2时
(1+a1)(1+a2)=1+a1a2+a1+a2=2+a1+a2>=2+2√a1a2=4
命题成立
假设n=k时命题成立
n=k+1时 由于a1a2a3…a(k+1)=1
所以必存在ai,aj ai>=1>=aj
不妨设a1>=1>=a2
将a1*a2看成1个数 就成了n=k的情况
(1+a1a2)(1+a3).(1+a(k+1))>=2^(k)
只需要证明(1+a1)(1+a2)>=2(1+a1a2)就可以了
化简 a1+a2-1-a1a2=(a1-1)(1-a2)>0
故(1+a1)(1+a2)(1+a3).(1+a(k+1))>=2^(k+1)
证毕
n=2时
(1+a1)(1+a2)=1+a1a2+a1+a2=2+a1+a2>=2+2√a1a2=4
命题成立
假设n=k时命题成立
n=k+1时 由于a1a2a3…a(k+1)=1
所以必存在ai,aj ai>=1>=aj
不妨设a1>=1>=a2
将a1*a2看成1个数 就成了n=k的情况
(1+a1a2)(1+a3).(1+a(k+1))>=2^(k)
只需要证明(1+a1)(1+a2)>=2(1+a1a2)就可以了
化简 a1+a2-1-a1a2=(a1-1)(1-a2)>0
故(1+a1)(1+a2)(1+a3).(1+a(k+1))>=2^(k+1)
证毕
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
- 1空气污染分几类?它们分别是由什么物质引起的?
- 2I-----I could fly in the sky.A feel B feel like C felt D like
- 3流水无情草自春,日暮东风怨啼鸟,落花犹似坠落人
- 4维新变法运动期间,某西方传教士来到中国,他不可能看到的是( ) A.同文馆B.京师大学堂C.圆明园遗迹D.轮船招
- 5《我的母亲》一课中文章中破折号的作用 (30 12:48:28)
- 6数学课上,小兰剪了一个面积是9.42平方厘米的圆形纸片,你能猜出她至少要准备_平方厘米的正方形纸片.
- 7数学第八单元 空间与图形 检测卷(B)思考题怎么写?
- 8少年闰土 用横线画出 我 的想法的句子.句子中,你体会到了什么?
- 9review and comment是什么意思
- 10(a+b-c)-(b-a-c)=?因为绝对值符号不会打,所以,此处用括号代替绝对值符号.
热门考点