题目

已知曲线y=x³-6x²+11x-6．在它对应于x∈[0，2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．

提问时间：2021-03-28

答案

已知曲线方程是y=x³-6x²+11x-6，因此y'=3x²-12x+11
在曲线上任取一点P（x₀，y₀），则点P处切线的斜率是y'|_x=x0=3x₀²-12x₀+11
点P处切线方程是y=（3x₀²-12x₀+11）（x-x₀）+y₀
设这切线与y轴的截距为r，则
r=（3x₀²-12x₀+11）（-x₀）+（x₀³-6x₀²+11x₀-6）=-2x₀³+6x₀²-6
根据题意，要求r（它是以x₀为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值
因为r'=-6x₀²+12x₀=-6x₀（x₀-2）
当0＜x₀＜2时r'＞0，因此r是增函数，
故r在区间[0，2]的左端点x₀=0处取到最小值，即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小
这个最小值是r_最小值=-6

求出曲线方程的导函数，在曲线上取一点设P（x₀，y₀），把x₀代入到导函数中求出切线方程的斜率，根据P点坐标和斜率写出切线的方程，令x等于0表示出切线在y轴上的截距r，求出r′，判断r′大于0得到r为增函数，得到r在x₀=0处取到最小值，把x₀=0代入r求出最小值即可．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，会利用导数求闭区间上函数的最小值，是一道中档题．