题目

星形线的参数方程的推导过程
希望用参数的形式推导出它的参数方程,这是选修4—4摆线后面的习题4,

提问时间：2021-03-28

答案

最先对星形线进行研究是Johann Bernouli.星形线由于有四个尖端,所以有时也被称为四尖内摆线(tetracuspid).星形线于1836年被正式定名,首次出现在正式出版的图书（出版于维也纳）中.星形线还有许多有趣的名称：cubocycloid和paracycle. 　　星形线的周长为6*a,它所包围的面积为3*PI*a^2/8. 它与x轴围成的区域绕x轴旋转而成的旋转体体积为32*PI*a^3/105. 　　若星形线上某一点切线为T,则其斜率为tan(p),其中p为极坐标中的参数.相应的切线方程为 　　T: x*sin(p)+y*cos(p)=a*sin(2p)/2 . 　　如果切线T分别交x、y轴于点x(X,0)、y（0,Y）,则线段xy恒为常数,且为a. 　　星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的. 　　在第一象限 　　星形线 　　也可由靠在Y轴上一个线段在重力作用下扫过的图形 　　
(阴影里的另一个弧是圆的一部分以做对比)