题目

两个一元二次方程有整数解的充要条件
已知关于x的一元二次方程（m属于Z）一 m*x的平方-4x+4=0 二 x平方-4mx+4*m的平方-4m-5=0 求方程1和2都有实数解的充要条件

提问时间：2021-03-27

答案

首先,当m=0时,方程2成为 x²-5=0 没有整数解,故m≠0,从而两个方程必是一元二次方程；
其次,整数都是实数,要一元二次方程有实数解,必须且仅需判别式≥0
由方程1的判别式△1=16-16m≥0,得m≤1
由方程2的判别式△2=4m+5≥0,得m≥-5/4
所以m只能在集合{-1,1}中取值.
最后来验证：
①当m=-1时,方程2的解为-3/2和-5/2,即方程2没有整数解,所以m≠-1；
②当m=1时,方程1的解为2,方程2的解为-1和5,两个方程都有整数解.
综上述,当且仅当m=1时,两个方程都有整数解,所以方程1和2都有整数解的充要条件是m=1
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