题目

设函数f（x）=log_a（3-2x-x²），其中a>0，且a≠1．
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在区间[-1-

2

，-1+

2

]上的最大值与最小值之差为2，求实数a的值．

提问时间：2021-03-27

答案

由3-2x-x²>0，解得-3<x<1，即f（x）的定义域为（-3，1）．
（1）当a=

1

2

时，f(x)=log

1

2

(3-2x-x2)．
令u=3-2x-x2，y=log

1

2

u．
∵u=-（x+1）²+4，∴其图象的对称轴为x=-1，
∴u=3-2x-x²在区间[-1，1）上是减函数，
又∵y=log

1

2

u是减函数，
∴函数f（x）的单调递增区间是[-1，1）．
（2）∵-1-

2

≤x≤-1+

2

，且u=-（x+1）²+4，
∴2≤u≤4．
①当a>1时，f（x）在[-1-

2

，-1+

2

]上的最大值与最小值分别为log_a4，log_a2，
则log_a4-log_a2=2，解得a=

2

；
②当0<a<1时，f（x）在[-1-

2

，-1+

2

]上的最大值与最小值分别为log_a2，log_a4，
则log_a2-log_a4=2，解得a=

2

2

．

（1）先求出f（x）的定义域，然后f（x）可分解为u＝3−2x−x2，y＝log

1

2

u，根据复合函数单调性的判断方法可求得f（x）的增区间，注意增区间为定义域的子集；
（2）由−1−

2

≤x≤−1+

2

，及u=-（x+1）²+4可求得u的范围，然后分a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论，根据对数函数的单调性可求得f（x）的最大值、最小值，根据最大值与最小值之差为2可得a的方程，解出即可；

本题考点：复合函数的单调性；对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评：本题考查复合函数单调性的判断、对数函数和二次函数的单调性及其应用，考查学生综合运用知识解决问题的能力．