题目

已知函数f(x)=x|x-m|+2x-3(m∈R) (1)若m=4,求函数f(x)在区间[1,5]的值域； (2)若函数y=f(x)在R上为增函数
已知函数f(x)=x|x-m|+2x-3(m∈R)
(1)若m=4,求函数f(x)在区间[1,5]的值域；
(2)若函数y=f(x)在R上为增函数,求m的取值范围.

提问时间：2021-03-27

答案

（1）
∵m=4,∴f(x)=x|x-4|+2x-3
x∈[1,4]时,f(x)=-x^2+4x+2x-3=-x^2+6x-3,值域为[2,6]
x∈[4,5]时,f(x)=x^2-4x+2x-3=x^2-2x-3,值域为[5,12]
∴x∈[1,5]时,值域为[2,12]
（2）
x≥m时,f(x)=x|x-m|+2x-3=x^2+(2-m)x-3,对称轴为x=(m-2)/2,
∵f(x)是增函数,对称轴要在x的最小值左边,∴(m-2)/2≤m,∴m≥-2
x＜m时,f（x）=x|x-m|+2x-3=-x^2+(2+m)x-3,对称轴为x=(m+2)/2
∵f(x)是增函数,对称轴要在x的最大值右边,亦即(m+2)/2≥m,m≤2
综上所述：-2≤m≤2