题目

已知函数f（x）=2^x-

1

2|x|

．
（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；
（Ⅱ）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-03-27

答案

（Ⅰ）当x≤0时f（x）=0，
当x＞0时，f(x)＝2x−

1

2x

，
有条件可得，2x−

1

2x

＝2，
即2^2x-2×2^x-1=0，解得2x＝1±

2

，∵2^x＞0，∴2x＝1+

2

，∴x＝log2(1+

2

)．
（Ⅱ）当t∈[1，2]时，2t( 22t−

1

22t

 )+m( 2t−

1

2t

 )≥0，
即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）．∵2^2t-1＞0，∴m≥-（2^2t+1）．
∵t∈[1，2]，∴-（1+2^2t）∈[-17，-5]，
故m的取值范围是[-5，+∞）．

（I）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；
（II）由 t∈[1，2]时，2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=2t−

1

2t

，代入得到m的范围即可．

本题考点：指数函数综合题．

考点点评：本题主要考查了函数恒成立问题．属于基础题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求．