题目

已知A（-2，0），B（2，0），C（m，n）．
（1）若m=1，n=

3

，求△ABC的外接圆的方程；
（2）若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A，B），直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论．

提问时间：2021-03-27

答案

（1）法1：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由题意可得4−2D+F＝04+2D+F＝01+3+D+3E+F＝0，解得D=E=0，F=-4，∴△ABC的外接圆方程为x2+y2-4=0，即x2+y2=4．-----------------（6分）法2：线段AC的中点为（-12，32...

（1）法1：设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，依题意，求得D，E，F即可；
法2：可求得线段AC的中点为（-

1

2

，

3

2

），直线AC的斜率为k₁=

3

3

及线段AC的中垂线的方程，从而可求△ABC的外接圆圆心及半径为r；
法3：可求得|OC|=2，而|OA|=|OB|=2，从而知△ABC的外接圆是以O为圆心，2为半径的圆；
法4：直线AC的斜率为k₁=

3

3

，直线BC的斜率为k₂=-

3

，由k₁•k₂=-1⇒AC⊥BC，⇒△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆；
（2）设点R的坐标为（2，t），由A，C，R三点共线，而

AC

=（m+2，n），

AR

=（4，t），则4n=t（m+2）可求得t=

4n

m+2

，继而可求得直线CD的方程，于是可求得圆心O到直线CD的距离d=r，从而可判断直线CD与圆O相切．

本题考点：圆的一般方程；直线与圆的位置关系．

考点点评：本题考查圆的一般方程，考查圆的方程的确定，突出考查直线与圆的位置关系，考查圆心到直线的距离，考查推理分析与运算能力，属于难题．