题目

二次函数y=x²+2ax+a在-1≤x≤2上有最小值-4，则a的值为______．

提问时间：2021-03-27

答案

分三种情况：
当-a＜-1即a＞1时，二次函数y=x²+2ax+a在-1≤x≤2上为增函数，
所以当x=-1时，y有最小值为-4，把（-1，-4）代入y=x²+2ax+a中解得：a=5；
当-a＞2即a＜-2时，二次函数y=x²+2ax+a在-1≤x≤2上为减函数，
所以当x=2时，y有最小值为-4，把（2，-4）代入y=x²+2ax+a中解得：a=-

8

5

＞-2，舍去；
当-1≤-a≤2即-2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为

4a-4a2

4

=-4，解得：a=

1- 17

2

或a=

1+ 17

2

＞1，舍去．
综上，a的值为5或

1- 17

2

．
故答案为：5或

1- 17

2

分三种情况考虑：对称轴在x=-1的左边，对称轴在-1到2的之间，对称轴在x=2的右边，当对称轴在x=-1的左边和对称轴在x=2的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时x的值，然后把此时的x的值与y=-4代入二次函数解析式即可求出a的值；当对称轴在-1到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于-4，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到满足题意a的值．

本题考点：二次函数的最值．

考点点评：此题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法，是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到．