题目

9y^3-9y^2+2y+1=0 求3y-1=?

提问时间：2021-03-27

答案

楼上的化简方法不错,不过最后一步错了：
(3y-1)^3=27y^3-27y^2+9y-1（1）
27y^3-27y^2+6y+3=0（2）
整理得,（3y-1）^3-(3y-1)+3=0
令3y-1=x,则问题转化为求x^3-x+3=0
这个问题归根结底跑不掉解一元三次方程,用卡尔丹诺公式吧.
对形如x3=px+q的三次方程,假设方程的解x可以写成x=a-b的形式,这里a和b是待定的参数.
代入方程,我们就有 a^3-3ba^2+3ab^2-b^3=p(a-b)+q
整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q
由二次方程理论可知,一定可以适当选取a和b,使得在x=a-b的同时,
3ab+p=0.这样上式就成为 a^3-b^3=q
两边各乘以27a^3,就得到 27a^6-27a^3b^3=27qa^3
由p=-3ab可知 27a^6 + p = 27qa^3 (*)
这是一个关于a^3的二次方程,所以可以解得a,进而可解出b和根x.
在本题中,x^3=x-3
将p=1,q=-3带入(*)式可以求得a,b,计算非常繁琐.