题目

高手进,急需!抛物线!
设λ>0,点A得坐标为（1,1）,点B在抛物线y=x²上运动,点Q满足向量BQ=λ向量QA,经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足向量QM=λ向量MP,求点P的轨迹方程
设B(X,Y)然后我算出来P(x+λ/1+λ,((x+λ)^2-(y+λ))/(λ^2+λ)）消去λ之后和答案不一样.不知道哪里算错了.
你们说的方法我都会，但是我想知道自己错在哪里
我把B点表示出来之后，求出Q，P点坐标
然后把λ消掉之后就不对了。
Q（x+λ/1+λ，y+λ/1+λ）,P(x+λ/1+λ,((x+λ)^2-(y+λ))/(λ^2+λ)）

提问时间：2021-03-27

答案

你没算错啊.你不是算出来P(x+λ/1+λ,((x+λ)^2-(y+λ))/(λ^2+λ)）
又从已知里面得知y=x^2
那么把y换成x^2得到P(x+λ/1+λ,((x+λ)^2-(x^2+λ))/(λ^2+λ)）
化简一下就是
P(x+λ/1+λ,(2x+λ-1))/(λ+1)）
假设P是（m,n）
m=（x+λ）/（1+λ）=1+（x-1）/（1+λ）
n=1+2（x-1）/（1+λ）
m-1=（n-1）/2
2m-2=n-1
n=2m-1
即
y=2x-1
可能是最后化简的时候出了什么问题
最后并不非要消掉λ
只要能够找出P点坐标（m,n）
m与n之间的关系就行.
拿这题来说,把（x-1）/（1+λ）看成一个整体
很容易就能找出m,n之间的关系
当然,这层关系不能受λ的影响,否则就等于没有求出
由题设可知 B 不等于（1,1）
设B=（x,y）,Q=（x0,y0）,P=（x1,y1）
则B=（x,x^2）,M=（x0,x0^2）
方法（一）：
因为向量BQ=λ向量QA,向量QM=λ向量MP
变换一下,可知：向量BQ*向量MP=向量QA*向量QM
向量BQ=（x0-x,y0-x^2）
向量MP=（x1-x0,y1-x0^2）
向量QA=（1-x0,1-y0）
向量QM=（0,x0^2-y0）
从"向量BQ=λ向量QA,向量QM=λ向量MP"可知
x1-x0=0
x1=x0
x0-x=λ（1-x0）
x1=x0=（x+λ）/（λ+1）
y0-x^2=λ（1-y0）
y0=（x^2+λ）/（λ+1）
所以
向量BQ=（x1-x,y0-x^2）
向量MP=（0,y1-x1^2）
向量QA=（1-x1,1-y0）
向量QM=（0,x1^2-y0）
因为向量BQ*向量MP=向量QA*向量QM
所以
（y0-x^2）（y1-x1^2）=（1-y0）（x1^2-y0）
变换（注意x0=x1）
y1（y0-x^2）=x1^2（1-x^2）+y0（y0-1）
y1（（x^2+λ）/（λ+1）-x^2）=x1^2（1-x^2）+（x^2+λ）（（x^2+λ）/（λ+1）-1）/（λ+1）
y1*λ/（λ+1）=x1^2-（x^2+λ）/（λ+1）^2
y1*λ/（λ+1）=（x+λ）^2/（λ+1）^2-（x^2+λ）/（λ+1）^2
y1=1+（2x-2）/（λ+1）=1+2（x-1）/（λ+1）
x1=x0=（x+λ）/（λ+1）=1+（x-1）/（λ+1）
很明显（y1-1）/2=x1-1
所以
y1=2x1-1
所以P的轨迹方程为y=2x-1
即P坐标为
P=（x,y）=（x,2x-1）
方法（二）：
向量BQ=（x1-x,y0-x^2）
向量MP=（0,y1-x1^2）
向量QA=（1-x1,1-y0）
向量QM=（0,x1^2-y0）
向量BQ=λ向量QA,向量QM=λ向量MP
x0-x=λ（1-x0）
x=（λ+1）x0-λ
x带入
y0-x^2=λ（1-y0）
y0=（x^2-λ）/（λ+1）
y0带入
x0^2-y0=λy1-x0^2
因为x0=x1
x1^2-y0=λy1-x1^2
化简可得
λy=2λx-λ
y=2x-1