题目
已知数列an的各项都是正数,且对任意n∈N都有a1的3次方+a2的3次方+a3的3次方+an的3次方=sn平方+2sn
1 求a1,a2 2求数列an的通项公式
1 求a1,a2 2求数列an的通项公式
提问时间:2021-03-27
答案
1,当n=1时,a1³=a1²+2a1,因为a1为正,两边除以a1有,a1²-a1-2=0,a1=2.
当n=2时,a1³+a2³=(a1+a2)²+2(a1+a2),代入a1并化简得,a2²-a2-6=0,a2=3.
2,a1³+a2³+.+an³=Sn²+2Sn,a1³+a2³+.+a(n-1)³=S(n-1)²+2S(n-1),两式相减有,an³=an[Sn+S(n-1)]+2an,两边除以an,an²=Sn+S(n-1)+2=2Sn-an+2,所以an²+an=2Sn+2,所以a(n-1)²+a(n-1)=2S(n-1)+2,两式相减有an²+an-a(n-1)²-a(n-1)=2an,移项化简有,an²-an-a(n-1)²-a(n-1)=0,an²-a(n-1)²-=an+a(n-1),an、a(n-1)都为正,那么两边除以an+a(n-1)有an-a(n-1)=1,所以数列{an}是首项为2,公差为1的等差数列,通项公式an=2+(n-1)×1=n+1.
当n=2时,a1³+a2³=(a1+a2)²+2(a1+a2),代入a1并化简得,a2²-a2-6=0,a2=3.
2,a1³+a2³+.+an³=Sn²+2Sn,a1³+a2³+.+a(n-1)³=S(n-1)²+2S(n-1),两式相减有,an³=an[Sn+S(n-1)]+2an,两边除以an,an²=Sn+S(n-1)+2=2Sn-an+2,所以an²+an=2Sn+2,所以a(n-1)²+a(n-1)=2S(n-1)+2,两式相减有an²+an-a(n-1)²-a(n-1)=2an,移项化简有,an²-an-a(n-1)²-a(n-1)=0,an²-a(n-1)²-=an+a(n-1),an、a(n-1)都为正,那么两边除以an+a(n-1)有an-a(n-1)=1,所以数列{an}是首项为2,公差为1的等差数列,通项公式an=2+(n-1)×1=n+1.
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