题目

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的中，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，B₁D∩平面A₁BC₁=P．
求证：P∈BO₁．

提问时间：2021-03-27

答案

证明：在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵B₁D∩平面A₁BC₁=P，∴P∈平面A₁BC₁，P∈B₁D．
∵B₁D⊂平面BB₁D₁D．∴P∈平面A₁BC₁，且P∈平面BB₁D₁D．
∴P∈平面A₁BC₁∩平面BB₁D₁D，
∵A₁C₁∩B₁D₁=O₁，A₁C₁⊂平面A₁BC₁，B₁D₁⊂平面BB₁D₁D，
∴O₁∈平面A₁BC₁，且O₁∈平面BB₁D₁D．
又B∈平面A₁BC₁，且B∈平面BB₁D₁D，
∴平面A₁BC₁∩平面BB₁D₁D=BO₁．∴P∈BO₁．

求证点在一条直线上，要顺藤摸瓜．首先看这个点在题目已知条件中在什么位置，然后再一步步地推导．此题中点P在直线B₁D和平面A₁BC₁上，直线B₁D在平面BB₁D₁D上，所以点P也在平面BB₁D₁D上，则点P应该在平面A₁BC₁和平面BB₁D₁D的交线上，即点P在直线BO₁上．

本题考点：平面的基本性质及推论；三点共线．

考点点评：一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上．