题目
若三角形ABC三边长为a、b、c,且S=c²-(a-b)²且a+b=2,
若三角形ABC三边长为a、b、c,面积为S,且S=c²-(a-b)²,且a+b=2,求面积S的最大值.
若三角形ABC三边长为a、b、c,面积为S,且S=c²-(a-b)²,且a+b=2,求面积S的最大值.
提问时间:2021-03-27
答案
根据余弦定理:c^2=a^2+b^2-2abcosC,代入S=c²-(a-b)²得:S=2ab(1-cosC)=4ab(sinC/2)^2
因为S=1/2absinC,所以4ab(sinC/2)^2=1/2absinC,化简得:tanC/2=1/4,所以:
S=4ab(sinC/2)^2=4ab(tanC/2)^2/(1+(tanC/2)^2)=4ab(1/4)^2/(1+(1/4)^2)=4ab/17
因为a+b=2,所以b=2-a代入上式得:S=4a(2-a)/17=-4(a-1)^2/17+4/17
所以当a=1时,S取最大值4/17.
因为S=1/2absinC,所以4ab(sinC/2)^2=1/2absinC,化简得:tanC/2=1/4,所以:
S=4ab(sinC/2)^2=4ab(tanC/2)^2/(1+(tanC/2)^2)=4ab(1/4)^2/(1+(1/4)^2)=4ab/17
因为a+b=2,所以b=2-a代入上式得:S=4a(2-a)/17=-4(a-1)^2/17+4/17
所以当a=1时,S取最大值4/17.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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