题目

证明：若函数f(x)在[a,b]上连续,x1,..,xn属于[a,b]且t1+...+tn=1 ti>0(i=1,...,n),则在[a,b]上至少存在
证明：若函数f(x)在[a,b]上连续,x1,..,xn属于[a,b]且t1+...+tn=1 ,ti>0(i=1,...,n),则在[a,b]上至少存在一点c使得f(c)=t1f(x1)+...+tnf(xn)

提问时间：2021-03-27

答案

不妨设f（x1）在这n个函数值之中是最大的,为M,f（xn）是最小的,为m于是容易知道t1f(x1)+...+tnf(xn)∈【m,M】
于是根据连续函数的介值定理,在区间【x1,xn】中至少存在一点c使得f（c）=t1f(x1)+...+tnf(xn)
证毕