题目

若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是（　　）
A. -1
B.

2

C. −

1

2

+

2

D.

1

2

+

2

提问时间：2021-03-26

答案

y=sinx+cosx+sinxcosx
=sinx（1+cosx）+1+cosx-1
=（1+sinx）（1+cosx）-1
≤

1

2

[（1+sinx）²+（（1+cosx）²]-1
（当且仅当1+sinx=1+cosx时成立，此时sinx=cosx=

2

2

）
即y（max）=

2

+

1

2

故选D

函数y=sinx+cosx+sinxcosx的解析式可化为（1+sinx）（1+cosx）-1，由基本不等式可得y≤

1

2

[（1+sinx）²+（（1+cosx）²]-1，当且仅当1+sinx=1+cosx时成立，此时sinx=cosx=

2

2

，进而得到答案．

本题考点：基本不等式；三角函数的最值．

考点点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，其中将y=sinx+cosx+sinxcosx的解析式可化为（1+sinx）（1+cosx）-1，为基本不等式的使用创造条件，是解答本题的关键．