题目

如图，已知△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D是AB上一动点，DE∥BC，交AC于E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形B′DEC′，B′C′与AB、AC分别交于点M、N．

（1）证明：△ADE∽△ABC；
（2）设AD为x，梯形MDEN的面积为y，试求y与x的函数关系式．当x为何值时y有最大值？

提问时间：2021-03-26

答案

（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．
∴△ADE∽△ABC．   （2分）
（2）∵S_△ABC=24，△ADE∽△ABC，相似比为

x

6

，
∴

S△ADE

S△ABC

＝(

x

6

)2，所以S△ADE＝

2

3

x2．    （4分）
∵∠1=∠2，∠1=∠B'MD，∠2=∠B'，
∴∠B'=∠B'MD
∴B'D=MD．
又B'D=BD，∴MD=BD．
∴AM=AB-MB=6-2（6-x）=2x-6．    （6分）
同理，△AMN∽△ABC，S△AMN＝

8

3

(x−3)2
∴y＝S△ADE−S△AMN＝

2

3

x2−

8

3

(x−3)2＝−2x2+16x−24． （8分）
配方得y=-2（x-4）²+8
∴当x=4时，y有最大值．   （10分）

（1）根据DE∥BC得△ADE∽△ABC；
（2）S_梯形MDEN=S_△ADE-S_△AMN．根据△ADE∽△ABC，△AMN∽△ABC分别用含x的代数式表示S_△ADE，S_△AMN得y与x的函数关系式，应用函数性质求解．

本题考点：二次函数的最值；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．

考点点评：此题为二次函数与相似三角形的综合题，有一定难度．