题目

sin(arccos XXX) sin(arctan xx)这类怎么化简啊
不太懂

提问时间：2021-03-26

答案

找他们的关系
例如：
sin(arccosX)
令arccosX=t
则x=cost
sin(arccosX)=sint
∴sin(arccosX)=sint=±√(1-cos²t)=±√(1-x²) (正负号好像分不清)
这题就是找正弦和余弦的关系
再例如：
sin(arctanx)
令arctanx=α
则x=tanα
sin(arctanx)=sinα
这题就是找正弦和正切的关系
∵sin²α=tan²αcos²α=tan²α(1-sin²α)=tan²α-tan²αsin²α
∴(1+tan²α)sin²α=tan²α
∴sin²α=tan²α/(1+tan²α)
∴sin(arctanx)=sinα=±√[tan²α/(1+tan²α)]=±√[x²/(1+x²)]
或者不换元也行：
例如：
(1)∵cos(arccosX)=X
∴sin(arccosX)=±√[1-cos²(arccosX)]=±√(1-X²)
(2)∵tan(arctanX)=X
∴sin²(arctanx)=tan²α/(1+tan²α)=x²/(1+x²)
∴sin(arctanx)=.