题目

双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是（　　）
A. [4

2

-4，4）
B. [4

2

−4，2]
C. (4

2

−4，2)
D. [4

2

−4，2)

提问时间：2021-03-26

答案

∵双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，∴2a+2b+2c=8，a+b+c=4，∴a+b=4-c在双曲线中，a2+b2=c2，∴a2+b2+2ab-2ab=c2，即（a+b）2-2ab=c2，∴（4-c）2-2ab=c2，ab=(4−c)2−c22∵a＞0，b＞0，∴ab≤(a+b2)2=(4−c)...

因为双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，所以a+b+c=4，把a+b用c表示，代入a²+b²=c²中，化简，再用均值不等式就可得到c的一个范围，再根据a²+b²=c²，得到c＜a+b，代入a+b+c=4，又可得到c的一个范围，两个范围取公共部分，就可得到半焦距c的取值范围．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题主要考查双曲线中a，b，c的关系式，以及和均值定理相结合求范围，属于综合题．