题目

错位相减法的问题,
例如,求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）
当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；
当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；
∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；
两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；
化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n
两边同时乘以1/2
1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些）
两式相减
1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
Sn=1-1/2^n
化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
怎么化简的,

提问时间：2021-03-26

答案

错了 应该这样
当x=1时,Sn=n^2
当x不等于1时,
Sn=1+3x+5x^2+…+(2n-1)x^(n-1)+0
xSn=0+ x+3x^2+…+(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)x^n
(1-x)Sn=1+2(x+x^2+…x^(n-1)-(2n-1)x^n
=2(x+x^2+…x^(n-1)-(2n-1)x^n-1
=2(1-x^n)/(1-x)-(2n-1)x^n-1
Sn=2(1-x^n)/ (1-x)^2-( (2n-1)x^n-1 )/(1-x)