题目

如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．

（1）试说明△ABC∽△DBE；
（2）当∠A=30°，AF=

3

时，求⊙O中劣弧

AC

的长．

提问时间：2021-03-26

答案

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（1分）
∵CD⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ACB=∠DEB（2分）
又∵∠A=∠D，
∴△ACB∽△DEB．（3分）
（2）连接OC，则OC=OA，（4分）
∴∠ACO=∠A=30°，
∴∠AOC=120°（5分）
∵OF⊥AC，
∴∠AFO=90°（6分）
在Rt△AFO中，cos30°=

AF

AO

=

3

AO

，
∴AO=2（7分）
∴AC弧的长为

120

180

π•2=

4

3

π．（9分）

（1）根据都是直角三角形，同弧所对的圆周角相等，可知这两个三角形三角相等，故相似．
（2）根据30度的正弦值求出圆的半径，再根据连接OC，利用等腰三角形和三角形的内角和求出圆心角，即可求弧长．

本题考点：弧长的计算；圆周角定理；相似三角形的判定．

考点点评：本题主要考查了弧长公式的应用．即l=

nπr

180

．