题目

已知f （x）=（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）¹⁰．
（1）求f （x）展开式中x³的系数；
（2）求f （x）展开式中各项系数之和．

提问时间：2021-03-26

答案

（1）（1+x）ⁿ展开式的通项为T_r+1=C_n^rx^r
令r=3得到展开式中x³的系数是C_n³
∴f （x）=（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）¹⁰展开式中x³的系数是C₃³+C₄³+C₅³+…+C₁₀³=C₁₁⁴
（2）令x=1得f（1）=2+2²+2³+…+2¹⁰=2046
∴f （x）展开式中各项系数之和为2046

（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，求出展开式中x³的系数．
（2）欲求f （x）展开式中各项系数之和，只需令x=1即可求出所求．

本题考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．

考点点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，以及所以系数和等有关问题，属于中档题．