题目

已知数列an满足,anan+1=n(n-1)(an+1-an),且a1=0,a2=1
设bn=2的an次方-34,求数列bn的绝对值的前n相和为Sn

提问时间：2021-03-26

答案

n≥2时,等式两边同除以n(n-1)ana(n+1)
1/[n(n-1)]=1/an -1/a(n+1)
1/a(n+1)-1/an=-1/[(n-1)n]=1/n -1/(n-1)
1/a(n+1)-1/n=1/an -1/(n-1)
1/a2- 1/1=1/1-1/1=0,数列{1/an -1/(n-1)}从第2项开始,是每项均为0的常数数列.
1/an=1/(n-1)
an=n-1
n=1时,a1=1-1=0,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=n-1 /本题求{an}通项公式为关键点,剩下的就很简单了.
bn=2^(an) -34=2^(n-1) -34
令2^(n-1)-34≥0
2^(n-1)≥34
n为正整数,n≥7,即数列前6项均为负,从第7项开始,以后各项均为正.
n≤6时,Sn=|b1|+|b2|+...+|bn|
=-(b1+b2+...+bn)
=-[(1-34)+(2-34)+...+(2^(n-1)-34)]
=-[1+2+...+2^(n-1) -34n]
=34n -1×(2ⁿ-1)/(2-1)
=34n -2ⁿ +1
n≥7时,
Sn=|b1|+|b2|+...+|bn|
=-(b1+b2+...+b6)+(b7+b8+...+bn)
=(b1+b2+...+bn)-2(b1+b2+...+b6)
=-(34n-2ⁿ+1)-2[-(34×6-2^6+1)]
=2ⁿ-34n+281